13. а) Решите уравнение 2cos²x√3cosx-3=0. 6) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7; 11].

Решение уравнения

Для начала решим уравнение:

\[2\cos^2 x - \sqrt{3}\cos x - 3 = 0\]

Пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[2t^2 - \sqrt{3}t - 3 = 0\]

Решим это квадратное уравнение:

\[D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27\] \[t_1 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\] \[t_2 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь найдем \( x \):

1. \(\cos x = \sqrt{3}\)

Так как \( -1 \le \cos x \le 1 \), то \(\cos x = \sqrt{3}\) не имеет решений.

2. \(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)

Найдем корни, принадлежащие отрезку [7; 11]

Примерно \([7; 11] \approx [2\pi; 3\pi]\)

Нам нужно найти значения \( k \), при которых корни попадают в заданный отрезок.

\( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

\[7 \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 11\] \[7 \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 11 \Rightarrow \frac{7}{2\pi} \le \frac{5}{12} + k \le \frac{11}{2\pi}\]

\( \frac{7}{2\pi} \approx 1.114, \frac{5}{12} \approx 0.416, \frac{11}{2\pi} \approx 1.75 \)

\[1.114 \le 0.416 + k \le 1.75 \Rightarrow 0.698 \le k \le 1.334\]

\( k = 1 \)

\( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 8.90 \)

\( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

\[7 \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 11 \Rightarrow \frac{7}{2\pi} \le -\frac{5}{12} + k \le \frac{11}{2\pi}\] \[1.114 \le -0.416 + k \le 1.75 \Rightarrow 1.53 \le k \le 2.166\]

\( k = 2 \)

\( x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.94 \)