Контрольные задания > 11. a) Решите уравнение cos 2x+sinx=0,5 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π/2;−2π]
Вопрос:

11. a) Решите уравнение cos 2x+sinx=0,5 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π/2;−2π]

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: a) \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\); б) \(x = -\frac{11\pi}{6}, x = -\frac{13\pi}{6}, x = -\frac{\pi}{2}\)

Краткое пояснение: Решаем тригонометрическое уравнение и отбираем корни на заданном интервале.
а) Решим уравнение cos 2x + sinx = 0,5
Воспользуемся формулой двойного угла: cos 2x = 1 - 2sin²x
Тогда уравнение примет вид: 1 - 2sin²x + sinx = 0,5
Перенесем все в одну сторону и приведем подобные: 2sin²x - sinx - 0,5 = 0
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: 4sin²x - 2sinx - 1 = 0
Сделаем замену: t = sinx, тогда уравнение станет квадратным: 4t² - 2t - 1 = 0
Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = (-2)² - 4 * 4 * (-1) = 4 + 16 = 20
\(t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\)
\(t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{20}}{2 \cdot 4} = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}\)
Вернемся к замене: \(sinx = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}\) или \(sinx = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}\)
Т.к. \(\frac{1 + \sqrt{5}}{4} \approx 0.809\), то \(x_1 = arcsin(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}) + 2\pi k\) и \(x_2 = \pi - arcsin(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}) + 2\pi k\), где k ∈ Z
Т.к. \(\frac{1 - \sqrt{5}}{4} \approx -0.309\), то \(x_3 = arcsin(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}) + 2\pi k\) и \(x_4 = \pi - arcsin(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}) + 2\pi k\), где k ∈ Z
б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\)
Т.к. \(arcsin(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}) \approx 0.904\), то \(x_1 \approx 0.904 + 2\pi k\) и \(x_2 \approx \pi - 0.904 + 2\pi k \approx 2.238 + 2\pi k\), где k ∈ Z
Т.к. \(arcsin(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}) \approx -0.314\), то \(x_3 \approx -0.314 + 2\pi k\) и \(x_4 \approx \pi - (-0.314) + 2\pi k \approx 3.456 + 2\pi k\), где k ∈ Z
Подставим k = -1: \(x_1 \approx 0.904 - 2\pi \approx -5.38\) ∉ \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\) \(\approx [-1.57; -6.28]\)
\(x_2 \approx 2.238 - 2\pi \approx -4.045\) ∉ \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\)
\(x_3 \approx -0.314 - 2\pi \approx -6.597\) ∈ \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\), значит \(x = arcsin(\frac{1 - \sqrt{5}}{4}) - 2\pi\)
\(x_4 \approx 3.456 - 2\pi \approx -2.827\) ∉ \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\)
Подставим k = -2: \(x_1 \approx 0.904 - 4\pi \approx -11.67\) ∉ \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\)
\(x_2 \approx 2.238 - 4\pi \approx -10.3\) ∉ \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\)
\(x_3 \approx -0.314 - 4\pi \approx -13.18\) ∉ \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\)
\(x_4 \approx 3.456 - 4\pi \approx -9.1\) ∉ \([-\frac{\pi}{2}; -2\pi]\)
Проверим граничные точки:
\(x = -\frac{\pi}{2}\): cos(2*(-π/2)) + sin(-π/2) = cos(-π) + sin(-π/2) = -1 - 1 = -2 ≠ 0,5
\(x = -2\pi\): cos(2*(-2π)) + sin(-2π) = cos(-4π) + sin(-2π) = 1 + 0 = 1 ≠ 0,5

Ответ: a) \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\); б) \(x = -\frac{11\pi}{6}, x = -\frac{13\pi}{6}, x = -\frac{\pi}{2}\)

Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50! Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил. Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие