Контрольные задания > 12. Решите неравенство \(\sqrt{x^2-4x-1} > 2\sqrt{-x}\)
Вопрос:

12. Решите неравенство \(\sqrt{x^2-4x-1} > 2\sqrt{-x}\)

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: \(x \in [-1; 0]\)

Краткое пояснение: Решаем иррациональное неравенство, учитывая ОДЗ.
Решим неравенство \(\sqrt{x^2-4x-1} > 2\sqrt{-x}\)
ОДЗ: \(\begin{cases} x^2-4x-1 \geq 0 \\ -x \geq 0 \end{cases}\)
Решим первое неравенство системы:
\(x^2-4x-1 \geq 0\)
Найдем дискриминант: D = (-4)^2 - 4*1*(-1) = 16 + 4 = 20
Тогда корни:
\(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{20}}{2*1} = \frac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5}\)
\(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{20}}{2*1} = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5}\)
Т.к. коэффициент при \(x^2\) положительный, то ветви параболы направлены вверх, и решением неравенства является: \(x \in (-\infty; 2-\sqrt{5}] \cup [2+\sqrt{5}; +\infty)\)
Решим второе неравенство системы:
\(-x \geq 0\)
\(x \leq 0\)
Учитывая ОДЗ, получаем: \(x \in (-\infty; 2-\sqrt{5}] \cup [2+\sqrt{5}; +\infty)\) и \(x \leq 0\), то \(x \in (-\infty; 2-\sqrt{5}]\)
Возведем обе части исходного неравенства в квадрат:
\(x^2-4x-1 > 4(-x)\)
\(x^2-4x-1 > -4x\)
\(x^2-1 > 0\)
\((x-1)(x+1) > 0\)
Тогда решение неравенства:
\(x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\)
Учитывая ОДЗ и решение, получаем:
\(x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)\) и \(x \in (-\infty; 2-\sqrt{5}]\), то \(x \in (-\infty; -1)\)
Учитывая, что \(x \leq 0\), и то, что \(x^2-4x-1 \geq 0\)
Получим, что:
\(x \in [-1; 2-\sqrt{5}]\)

Ответ: \(x \in [-1; 0]\)

Цифровой атлет: Achievement unlocked: Домашка закрыта! Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода! Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие