а) Решите уравнение: 2 sin(2x + π/3) − √3 sin x = sin 2x + √3. б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2π; 7π/2].

а) Раскроем синус суммы: \(2\sin(2x+\frac{\pi}{3})=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x\). После сокращения одинаковых слагаемых получаем:

\(\sqrt{3}\cos 2x-\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}\), то есть \(\cos 2x-\sin x=1\).

Используем \(\cos 2x=1-2\sin^2x\): \(-2\sin^2x-\sin x=0\), откуда \(\sin x(2\sin x+1)=0\).

Следовательно, \(x=\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([2\pi;\frac{7\pi}{2}]\) из первого семейства находятся \(2\pi\) и \(3\pi\); из второго — \(\frac{19\pi}{6}\). Третье семейство не даёт корней на этом отрезке.

Ответ: а) \(x=\pi k\), \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(2\pi,\frac{19\pi}{6},3\pi\).