Задание №6. а) Решите уравнение: 2√2 sin(x + π/3) + 2 cos² x = 2 + √6 cos x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; −3π/2].

а) Раскроем синус суммы: \(2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{3})=\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x\). Слагаемые \(\sqrt{6}\cos x\) сокращаются, поэтому \(\sqrt{2}\sin x+2\cos^2x=2\).

Подставим \(\cos^2x=1-\sin^2x\): \(\sqrt{2}\sin x-2\sin^2x=0\), откуда \(\sin x(\sqrt{2}-2\sin x)=0\).

Следовательно, \(\sin x=0\) или \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Общие решения: \(x=\pi k\); \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\); \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]\) подходят \(-3\pi\) и \(-2\pi\) из первого семейства, а также \(-\frac{7\pi}{4}\) из второго. Третье семейство корней на этом отрезке не даёт.

Ответ: а) \(x=\pi k\), \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k\), \(x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-3\pi,-2\pi,-\frac{7\pi}{4}\).