Задание №5. а) Решите уравнение 5 tg² x + 3/cos x + 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π/2; −π].

Область допустимых значений: \(\cos x\ne 0\). Используем \( g^2x=\frac{1}{\cos^2x}-1\):

\(5(\frac{1}{\cos^2x}-1)+\frac{3}{\cos x}+3=0\).

Положим \(y=\frac{1}{\cos x}\). Тогда \(5y^2+3y-2=0\), то есть \((5y-2)(y+1)=0\). Получаем \(y=\frac{2}{5}\) или \(y=-1\).

Значение \(y=\frac{2}{5}\) невозможно, поскольку при действительном \(x\) величина \(|1/\cos x|\ge 1\). Из \(y=-1\) следует \(\cos x=-1\), поэтому \(x=\pi+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

На отрезке \([-\frac{5\pi}{2};-\pi]\) находится только корень \(-\pi\).

Ответ: а) \(x=\pi+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\pi\).