Задание №4. а) Решите уравнение 7 sin(π/2 − x) − 4√3 sin x cos x = 4 cos³ x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

а) Так как \(\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x\), уравнение принимает вид \(7\cos x-4\sqrt{3}\sin x\cos x=4\cos^3x\).

Перенесём всё в одну сторону и вынесем \(\cos x\): \(\cos x(7-4\sqrt{3}\sin x-4\cos^2x)=0\).

Первый множитель даёт \(\cos x=0\), то есть \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\).

Для второго множителя используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\). Получаем \(4\sin^2x-4\sqrt{3}\sin x+3=0\), или \((2\sin x-\sqrt{3})^2=0\). Поэтому \(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \([\frac{5\pi}{2};4\pi]\) подходят \(\frac{5\pi}{2}\) и \(\frac{7\pi}{2}\) из семейства \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), а также \(\frac{8\pi}{3}\) и \(\frac{10\pi}{3}\) из двух остальных семейств.

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k\), \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{5\pi}{2},\frac{8\pi}{3},\frac{10\pi}{3},\frac{7\pi}{2}\).