а) Решите уравнение \(9^{x-\frac12}-8\cdot 3^{x-1}+5=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((1;\frac73)\).

а) Сделаем замену \(t=3^{x-\frac12}\), где \(t>0\). Тогда \(9^{x-\frac12}=3^{2x-1}=t^2\), а \(3^{x-1}=\frac{t}{\sqrt3}\).

Получаем квадратное уравнение:

\(t^2-\frac{8}{\sqrt3}t+5=0\).

Его корни: \(t=\frac{4-\sqrt3}{\sqrt3}\) и \(t=\frac{4+\sqrt3}{\sqrt3}\). Оба положительны, поэтому

\(x=\frac12+\log_3\frac{4-\sqrt3}{\sqrt3}\) или \(x=\frac12+\log_3\frac{4+\sqrt3}{\sqrt3}\).

б) Первый корень меньше 1, второй лежит между 1 и \(\frac73\). Следовательно, на указанном промежутке находится только второй корень.

Ответ: \(\frac12+\log_3\frac{4+\sqrt3}{\sqrt3}\).