Тип 14 № 503127. а) Решите уравнение \(4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-1;2]\).

а) Обозначим \(t=4^{x^2-2x}\), где \(t>0\). Тогда \(4^{x^2-2x+1}=4t\), поэтому \(4t+t=20\), откуда \(t=4\).

Следовательно, \(4^{x^2-2x}=4\), значит, \(x^2-2x=1\). Решаем квадратное уравнение: \(x^2-2x-1=0\), откуда \(x=1-\sqrt2\) или \(x=1+\sqrt2\).

б) Число \(1-\sqrt2\) принадлежит отрезку \([-1;2]\), а \(1+\sqrt2>2\).

Ответ: \(1-\sqrt2\).