Тип 14 № 513605. а) Решите уравнение \(27^x-5\cdot9^x-3^{x+2}+45=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\log_3 4;\log_3 10]\).

а) Сделаем замену \(y=3^x\), где \(y>0\). Тогда уравнение принимает вид:

\(y^3-5y^2-9y+45=0\).

Группируем слагаемые: \(y^2(y-5)-9(y-5)=0\), поэтому \((y-5)(y^2-9)=0\). Получаем \(y=5\), \(y=3\) или \(y=-3\). Поскольку \(y>0\), значение \(-3\) не подходит. Значит, корни исходного уравнения: \(x=\log_3 5\) и \(x=1\).

б) Так как \(4<5<10\), то \(\log_3 4<\log_3 5<\log_3 10\). Корень \(1=\log_3 3\) меньше левой границы отрезка.

Ответ: \(\log_3 5\).