Тип 14 № 516760. а) Решите уравнение: \(4^x-2^{x+3}+15=0\). б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку \([2;\sqrt{10}]\).

а) Положим \(y=2^x\), где \(y>0\). Тогда \(4^x=y^2\), а \(2^{x+3}=8y\). Получаем:

\(y^2-8y+15=0\), то есть \((y-3)(y-5)=0\).

Значит, \(y=3\) или \(y=5\), откуда \(x=\log_2 3\) или \(x=\log_2 5\).

б) \(\log_2 3<2\), поэтому этот корень отрезку не принадлежит. Так как \(4<5<8<10\), то \(2<\log_2 5<3<\sqrt{10}\). Следовательно, отрезку принадлежит \(\log_2 5\).

Ответ: \(\log_2 5\).