а) Решите уравнение \(\cos x(3 g x-\cos x)=3\sin^2x\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2; 8].

Область допустимых значений: \(\cos x\ne 0\).

Раскроем скобки: \(3\sin x-\cos^2x=3\sin^2x\). Подставим \(\cos^2x=1-\sin^2x\): \(2\sin^2x-3\sin x+1=0\).

Разложим квадратный трёхчлен: \((2\sin x-1)(\sin x-1)=0\). Значение \(\sin x=1\) не подходит, поскольку тогда \(\cos x=0\), что запрещено областью определения. Поэтому \(\sin x=\frac12\).

а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На промежутке [2; 8] подходят \(\frac{5\pi}{6}\) и \(\frac{13\pi}{6}\).