Основанием пирамиды PABC является треугольник ABC, в котором AB = AC = 50 и BC = 60. Грань BPC перпендикулярна основанию и PB = PC, PH — высота пирамиды. а) Докажите, что плоскости BPC и AHP перпендикулярны. б) Вычислите радиус шара, вписанного в пирамиду, если PH = 70.

а) Плоскости BPC и основания ABC пересекаются по прямой BC. Поскольку PH — высота пирамиды, PH перпендикулярна плоскости основания, а значит, PH перпендикулярна BC. Из PB = PC следует, что P лежит в плоскости, равноудалённой от B и C; вместе с PH это даёт, что H — середина BC. В равнобедренном треугольнике ABC высота AH к основанию BC перпендикулярна BC. Следовательно, BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым PH и AH плоскости AHP, поэтому BC перпендикулярна плоскости AHP. Так как BC лежит в плоскости BPC, плоскости BPC и AHP перпендикулярны.

б) Введём координаты: B = (−30, 0, 0), C = (30, 0, 0), A = (0, 40, 0), P = (0, 0, 70). Высота основания равна \(\sqrt{50^2-30^2}=40\).

Площадь основания: \(S_{ABC}=\frac12\cdot60\cdot40=1200\).

Объём пирамиды: \(V=\frac13\cdot1200\cdot70=28000\).

Площадь грани BPC: \(S_{BPC}=\frac12\cdot60\cdot70=2100\).

Для грани PAB векторы \(\overrightarrow{AB}=(30,40,0)\) и \(\overrightarrow{BP}=(30,0,70)\) дают площадь \(S_{PAB}=1850\). По симметрии \(S_{PAC}=1850\). Поэтому полная площадь поверхности равна \(S=1200+2100+1850+1850=7000\).

Для вписанного шара \(V=\frac13rS\), поэтому \(r=\frac{3V}{S}=\frac{3\cdot28000}{7000}=12\).

Ответ: 12.