Планируется построить новый завод, который ежегодно будет выпускать x тыс. ед. продукции, причём затраты на производство этого количества продукции составят 0,25x² + 4x млн рублей в год. Кроме того, планируется, что транспортные расходы на доставку продукции до места реализации составят x + 12 млн рублей в год. После продажи продукции (x тыс. ед.) по цене p тыс. рублей, где p — целое число, за единицу ежегодная прибыль завода (в млн рублей) составит разность между полученной суммой денег и суммарных затрат по производству продукции и транспортных расходов. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 5 лет, если расходы по его строительству оцениваются в размере 120 млн рублей?

Чтобы вложения 120 млн рублей окупились не более чем за 5 лет, ежегодная прибыль должна быть не меньше \(120/5=24\) млн рублей.

Выручка при выпуске \(x\) тыс. единиц и цене \(p\) тыс. рублей за единицу равна \(px\) млн рублей. Прибыль:

\(P(x)=px-(0.25x^2+4x+x+12)=-0.25x^2+(p-5)x-12\).

При \(p>5\) максимум этой параболы достигается при \(x=2(p-5)>0\). Максимальная прибыль равна \((p-5)^2-12\). Требуется \((p-5)^2-12\ge24\), откуда \(p-5\ge6\), то есть \(p\ge11\). Наименьшее целое значение — 11.

Ответ: 11 тыс. рублей за единицу.