5. а) Решите уравнение 2cos2x – √3cosx–3 = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7; 11].

а) Решим уравнение 2cos²x - √3cosx - 3 = 0.

• Сделаем замену: t = cos x.
• Получаем квадратное уравнение: 2t² - √3t - 3 = 0.

Найдем дискриминант:

\[D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27\]

Найдем корни:

\[t_1 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\]

\[t_2 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Вернемся к замене:

• cos x = √3 (не имеет решений, так как |cos x| ≤ 1).
• cos x = -√3/2, тогда x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [7; 11].

• x = 5π/6 + 2πk
• x = -5π/6 + 2πk

Приближенно π ≈ 3.14159. Тогда отрезок [7; 11] примерно равен [2.22π; 3.5π].

Рассмотрим корни x = 5π/6 + 2πk:

• При k = 1: x = 5π/6 + 2π = 17π/6 ≈ 8.90 (принадлежит отрезку).
• При k = 2: x = 5π/6 + 4π = 29π/6 ≈ 15.18 (не принадлежит отрезку).

Рассмотрим корни x = -5π/6 + 2πk:

• При k = 2: x = -5π/6 + 4π = 19π/6 ≈ 9.95 (принадлежит отрезку).
• При k = 1: x = -5π/6 + 2π = 7π/6 ≈ 3.66 (не принадлежит отрезку).

Корни, принадлежащие отрезку [7; 11]: 17π/6 и 19π/6.

Ответ: a) x = ±5π/6 + 2πk, k ∈ Z; б) 17π/6, 19π/6