13. а) Решите уравнение 2sin(π/2 + x) + 5tgx = 4/cosx

Решим уравнение:

$$2\sin(\frac{\pi}{2} + x) + 5\operatorname{tg} x = \frac{4}{\cos x}$$

Из формулы приведения: $$\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$$

$$2\cos x + 5\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{4}{\cos x}$$

Умножим обе части уравнения на $$\cos x$$ (при условии, что $$\cos x
eq 0$$):

$$2\cos^2 x + 5\sin x = 4$$

Используем основное тригонометрическое тождество: $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$

$$2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x = 4$$

$$2 - 2\sin^2 x + 5\sin x = 4$$

$$2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$$

Пусть $$t = \sin x$$, тогда уравнение примет вид:

$$2t^2 - 5t + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Вернемся к замене:

1) $$\sin x = 2$$. Так как $$\sin x \in [-1; 1]$$, это уравнение не имеет решений.

2) $$\sin x = \frac{1}{2}$$

$$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$