12. Найдите наибольшее значение функции у = (x - 3)e на ке [3; 5].

Чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и найти критические точки, затем проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Найдём производную функции y = (x - 3)e^4-x:

$$y' = (x - 3)' \cdot e^{4-x} + (x - 3) \cdot (e^{4-x})'$$

$$y' = 1 \cdot e^{4-x} + (x - 3) \cdot e^{4-x} \cdot (-1)$$

$$y' = e^{4-x} - (x - 3)e^{4-x}$$

$$y' = e^{4-x}(1 - x + 3)$$

$$y' = e^{4-x}(4 - x)$$

Приравняем производную к нулю:

$$e^{4-x}(4 - x) = 0$$

Так как e^4-x > 0 всегда, то:

4 - x = 0

x = 4

Критическая точка x = 4 принадлежит отрезку [3; 5].

Теперь проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

y(3) = (3 - 3)e^4-3 = 0 * e¹ = 0

y(4) = (4 - 3)e^4-4 = 1 * e⁰ = 1

y(5) = (5 - 3)e^4-5 = 2 * e^-1 = 2/e ≈ 2/2.7 ≈ 0.74

Наибольшее значение функции на отрезке [3; 5] равно 1.

Ответ: 1