5. а) Решите уравнение: x-3√x-1+1=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [√3; √20].

а) Решим уравнение $$ x - 3\sqrt{x} + 1 = 0 $$.

Пусть $$ t = \sqrt{x} $$, тогда $$ t^2 = x $$.

Уравнение примет вид:

$$ t^2 - 3t + 1 = 0 $$.

Найдем дискриминант:

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 $$.

$$ t_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$.

$$ t_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $$.

Тогда $$ x_1 = t_1^2 = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} $$.

$$ x_2 = t_2^2 = (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} $$.

Ответ: $$ \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}; \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} $$

б) Укажем корни, принадлежащие отрезку $$ [\sqrt{3}; \sqrt{20}] $$.

$$ \sqrt{3} \approx 1.732 $$.

$$ \sqrt{20} \approx 4.472 $$.

$$ x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{7 + 3 \cdot 2.236}{2} = \frac{7 + 6.708}{2} = \frac{13.708}{2} = 6.854 $$, не принадлежит отрезку.

$$ x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \approx \frac{7 - 3 \cdot 2.236}{2} = \frac{7 - 6.708}{2} = \frac{0.292}{2} = 0.146 $$, не принадлежит отрезку.

Ни один из корней не принадлежит отрезку $$ [\sqrt{3}; \sqrt{20}] $$.

Ответ: нет корней, принадлежащих отрезку