13 а) Решите уравнение 4/cos² 3x + 1/cos 3x =3. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3π/4; 3π/4]

a) Решим уравнение $$\frac{4}{\cos^2 3x} + \frac{1}{\cos 3x} = 3$$.

Пусть $$t = \frac{1}{\cos 3x}$$, тогда уравнение примет вид:

$$4t^2 + t = 3$$

$$4t^2 + t - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$$

$$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

$$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$$

Возвращаемся к замене:

$$\frac{1}{\cos 3x} = \frac{3}{4}$$ или $$\frac{1}{\cos 3x} = -1$$

Тогда $$\cos 3x = \frac{4}{3}$$ или $$\cos 3x = -1$$

Так как $$|\cos 3x| \le 1$$, то $$\cos 3x = \frac{4}{3}$$ не имеет решений.

Решим $$\cos 3x = -1$$

$$3x = \pi + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$$.

Подставим различные значения k и выберем те, которые принадлежат данному промежутку:

• $$k = -1$$: $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi (-1)}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} \approx -1.047 \in [-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$$
• $$k = 0$$: $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi (0)}{3} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \in [-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$$
• $$k = 1$$: $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi (1)}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} = \pi \approx 3.14
  otin [-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$$
• $$k = -2$$: $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi (-2)}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{4\pi}{3} = -\frac{3\pi}{3} = -\pi \approx -3.14
  otin [-\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$$

Значит, корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку: $$x = -\frac{\pi}{3}$$ и $$x = \frac{\pi}{3}$$.

Ответ: a) $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$; б) $$\frac{\pi}{3}$$, $$-\frac{\pi}{3}$$