12 Найдите точку максимума функции у=x/(x²+169) Ответ:

Чтобы найти точку максимума функции $$y = \frac{x}{x^2 + 169}$$ необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и определить знак производной в окрестности полученных точек.

1. Найдём производную функции:

$$y' = \frac{(x^2 + 169) - x(2x)}{(x^2 + 169)^2} = \frac{x^2 + 169 - 2x^2}{(x^2 + 169)^2} = \frac{169 - x^2}{(x^2 + 169)^2}$$

2. Приравняем производную к нулю:

$$\frac{169 - x^2}{(x^2 + 169)^2} = 0$$

Это уравнение выполняется, когда числитель равен нулю: $$169 - x^2 = 0$$

Решения этого уравнения:

$$x^2 = 169$$

$$x = \pm 13$$

3. Определим знаки производной в окрестности точек x = -13 и x = 13:

• При x < -13 (например, x = -14): y' < 0 (функция убывает)
• При -13 < x < 13 (например, x = 0): y' > 0 (функция возрастает)
• При x > 13 (например, x = 14): y' < 0 (функция убывает)

Таким образом, x = -13 - точка минимума, x = 13 - точка максимума.

Ответ: 13