а) Решите уравнение 9x-\frac{1}{2}-8⋅3x-1+5 = 0.

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

\( 9^{x-\frac{1}{2}} - 8 \cdot 3^{x-1} + 5 = 0 \)

\( 9^x \cdot 9^{-\frac{1}{2}} - 8 \cdot 3^x \cdot 3^{-1} + 5 = 0 \)

\( \frac{9^x}{\sqrt{9}} - \frac{8 \cdot 3^x}{3} + 5 = 0 \)

\( \frac{9^x}{3} - \frac{8}{3} \cdot 3^x + 5 = 0 \)

Умножим обе части уравнения на 3:

\( 9^x - 8 \cdot 3^x + 15 = 0 \)

Заметим, что \( 9^x = (3^x)^2 \), поэтому можно переписать уравнение как:

\( (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x + 15 = 0 \)

Пусть \( t = 3^x \), тогда уравнение примет вид:

\( t^2 - 8t + 15 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно t:

\( t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \)

Итак, у нас есть два корня:

\( t_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5 \)

\( t_2 = \frac{8 - 2}{2} = 3 \)

Теперь вернемся к переменной x, учитывая, что \( t = 3^x \):

1) \( 3^x = 5 \)

\( x = \log_3{5} \)

2) \( 3^x = 3 \)

\( x = 1 \)

Ответ: \( x = \log_3{5} \) или \( x = 1 \)