4. Найдите наименьшее значение функции : а) y=(x-8)ex-7 на отрезке [6; 8] б) y=3x-ln(x+3)3 на отрезке [-2,5; 0].

Решение:

а) \( y = (x-8)e^{x-7} \) на отрезке \( [6; 8] \)

Найдем производную функции:

\( y' = e^{x-7} + (x-8)e^{x-7} = e^{x-7}(1 + x - 8) = e^{x-7}(x - 7) \)

Приравняем производную к нулю:

\( e^{x-7}(x - 7) = 0 \)

Так как \( e^{x-7} > 0 \) для любого x, то:

\( x - 7 = 0 \)

\( x = 7 \)

Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке:

\( y(6) = (6-8)e^{6-7} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e} \)

\( y(7) = (7-8)e^{7-7} = -1 \cdot e^0 = -1 \)

\( y(8) = (8-8)e^{8-7} = 0 \cdot e^1 = 0 \)

Сравним значения: \( -\frac{2}{e} \approx -\frac{2}{2.7} \approx -0.74 \)

Наименьшее значение: \( -1 \)

б) \( y = 3x - \ln(x+3)^3 \) на отрезке \( [-2.5; 0] \)

Преобразуем функцию: \( y = 3x - 3\ln(x+3) \)

Найдем производную функции:

\( y' = 3 - \frac{3}{x+3} = \frac{3(x+3) - 3}{x+3} = \frac{3x + 9 - 3}{x+3} = \frac{3x + 6}{x+3} \)

Приравняем производную к нулю:

\( \frac{3x + 6}{x+3} = 0 \)

\( 3x + 6 = 0 \)

\( x = -2 \)

Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке:

\( y(-2.5) = 3(-2.5) - 3\ln(-2.5+3) = -7.5 - 3\ln(0.5) = -7.5 - 3\ln(\frac{1}{2}) = -7.5 + 3\ln(2) \approx -7.5 + 3 \cdot 0.69 \approx -7.5 + 2.07 \approx -5.43 \)

\( y(-2) = 3(-2) - 3\ln(-2+3) = -6 - 3\ln(1) = -6 - 0 = -6 \)

\( y(0) = 3(0) - 3\ln(0+3) = -3\ln(3) \approx -3 \cdot 1.1 \approx -3.3 \)

Наименьшее значение: \( -7.5 + 3\ln(2) \)

Ответ: а) \( -1 \), б) \( -7.5 + 3\ln(2) \)