11.10 a) sin² x - 4 sin x + 3 = 0; B) sin² x + 3 sin x + 2 = 0; д) tg² x + 2 tg x - 3 = 0; ж) 6 tg² x - tg x - 1 = 0; и) sin² x + 2 sin x + 1 = 0;

11.10 a) sin² x - 4 sin x + 3 = 0

• Замена: y = sin x. Получаем квадратное уравнение: y² - 4y + 3 = 0
• Решаем квадратное уравнение:

• D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
• y₁ = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
• y₂ = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

Возвращаемся к замене:

• sin x = 3 (не имеет решений, так как |sin x| ≤ 1)

И

• sin x = 1
• x = π/2 + 2πn, где n ∈ Z

Ответ: x = π/2 + 2πn, где n ∈ Z

B) sin² x + 3 sin x + 2 = 0

• Замена: y = sin x. Получаем квадратное уравнение: y² + 3y + 2 = 0
• Решаем квадратное уравнение:

• D = 3² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1
• y₁ = (-3 + √1) / 2 = (-3 + 1) / 2 = -1
• y₂ = (-3 - √1) / 2 = (-3 - 1) / 2 = -2

Возвращаемся к замене:

• sin x = -1
• x = -π/2 + 2πn, где n ∈ Z

И

• sin x = -2 (не имеет решений, так как |sin x| ≤ 1)

Ответ: x = -π/2 + 2πn, где n ∈ Z

д) tg² x + 2 tg x - 3 = 0

• Замена: y = tg x. Получаем квадратное уравнение: y² + 2y - 3 = 0
• Решаем квадратное уравнение:

• D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
• y₁ = (-2 + √16) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1
• y₂ = (-2 - √16) / 2 = (-2 - 4) / 2 = -3

Возвращаемся к замене:

• tg x = 1
• x = π/4 + πn, где n ∈ Z

И

• tg x = -3
• x = arctg(-3) + πk, где k ∈ Z

Ответ: x = π/4 + πn, x = arctg(-3) + πk, где n, k ∈ Z

ж) 6 tg² x - tg x - 1 = 0

• Замена: y = tg x. Получаем квадратное уравнение: 6y² - y - 1 = 0
• Решаем квадратное уравнение:

• D = (-1)² - 4 * 6 * (-1) = 1 + 24 = 25
• y₁ = (1 + √25) / 12 = (1 + 5) / 12 = 1/2
• y₂ = (1 - √25) / 12 = (1 - 5) / 12 = -1/3

Возвращаемся к замене:

• tg x = 1/2
• x = arctg(1/2) + πn, где n ∈ Z

И

• tg x = -1/3
• x = arctg(-1/3) + πk, где k ∈ Z

Ответ: x = arctg(1/2) + πn, x = arctg(-1/3) + πk, где n, k ∈ Z

и) sin² x + 2 sin x + 1 = 0

• Замечаем, что это полный квадрат: (sin x + 1)² = 0

Решаем уравнение:

• sin x + 1 = 0
• sin x = -1
• x = -π/2 + 2πn, где n ∈ Z

Ответ: x = -π/2 + 2πn, где n ∈ Z