11.11* a) tg² x - 1 / (tg² x - 1) = 2,5;

11.11* a) tg² x - 1 / (tg² x - 1) = 2,5

• Замена: y = tg² x. Получаем уравнение: y - 1 / (y - 1) = 2,5
• Умножаем обе части на (y - 1): y(y - 1) - 1 = 2,5(y - 1)
• y² - y - 1 = 2,5y - 2,5
• y² - 3,5y + 1,5 = 0

Решаем квадратное уравнение:

• D = (-3,5)² - 4 * 1 * 1,5 = 12,25 - 6 = 6,25
• y₁ = (3,5 + √6,25) / 2 = (3,5 + 2,5) / 2 = 3
• y₂ = (3,5 - √6,25) / 2 = (3,5 - 2,5) / 2 = 0,5

Возвращаемся к замене:

• tg² x = 3
• tg x = ±√3

Решаем каждое уравнение отдельно:

• tg x = √3
• x = π/3 + πn, где n ∈ Z

И

• tg x = -√3
• x = -π/3 + πk, где k ∈ Z

И

• tg² x = 0,5
• tg x = ±√(0,5) = ±√2/2

Решаем каждое уравнение отдельно:

• tg x = √2/2
• x = arctg(√2/2) + πm, где m ∈ Z

И

• tg x = -√2/2
• x = arctg(-√2/2) + πl, где l ∈ Z

Ответ: x = π/3 + πn, x = -π/3 + πk, x = arctg(√2/2) + πm, x = arctg(-√2/2) + πl, где n, k, m, l ∈ Z