3. a) sin³ x - cos³ x = 1 + sin 2x / 2

Для решения уравнения sin³ x - cos³ x = 1 + (sin 2x) / 2 воспользуемся формулой разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). В нашем случае a = sin x и b = cos x, поэтому:

(sin x - cos x)(sin² x + sin x cos x + cos² x) = 1 + (sin 2x) / 2

Так как sin² x + cos² x = 1, уравнение принимает вид:

(sin x - cos x)(1 + sin x cos x) = 1 + (sin 2x) / 2

Учитывая, что sin 2x = 2 sin x cos x, имеем sin x cos x = (sin 2x) / 2, поэтому:

(sin x - cos x)(1 + (sin 2x) / 2) = 1 + (sin 2x) / 2

Обозначим (1 + (sin 2x) / 2) = A, тогда уравнение выглядит так:

(sin x - cos x)A = A

(sin x - cos x)A - A = 0

A(sin x - cos x - 1) = 0

Значит, либо A = 0, либо sin x - cos x - 1 = 0.

Случай 1: A = 0

1 + (sin 2x) / 2 = 0

sin 2x = -2

Так как синус не может быть меньше -1, этот случай не имеет решений.

Случай 2: sin x - cos x - 1 = 0

sin x - cos x = 1

Чтобы решить это уравнение, умножим и разделим левую часть на √2:

√2 ( (1/√2) sin x - (1/√2) cos x ) = 1

√2 ( cos(π/4) sin x - sin(π/4) cos x ) = 1

√2 sin (x - π/4) = 1

sin (x - π/4) = 1/√2

x - π/4 = π/4 + 2πn, где n ∈ Z, или x - π/4 = 3π/4 + 2πk, где k ∈ Z

x = π/2 + 2πn, где n ∈ Z, или x = π + 2πk, где k ∈ Z

Ответ: x = π/2 + 2πn, n ∈ Z; x = π + 2πk, k ∈ Z