6) 4 sin 2x-3 sin (2x-π/2)=5;

Для решения уравнения 4 sin 2x - 3 sin (2x - π/2) = 5 воспользуемся формулой приведения sin(α - π/2) = -cos α. Тогда уравнение принимает вид:

4 sin 2x - 3(-cos 2x) = 5

4 sin 2x + 3 cos 2x = 5

Чтобы решить это уравнение, разделим обе части на √(4² + 3²) = √25 = 5:

(4/5) sin 2x + (3/5) cos 2x = 1

Пусть cos α = 4/5 и sin α = 3/5. Тогда уравнение можно переписать как:

cos α sin 2x + sin α cos 2x = 1

sin (2x + α) = 1

2x + α = π/2 + 2πn, где n ∈ Z

2x = π/2 - α + 2πn

x = π/4 - α/2 + πn, где n ∈ Z

Так как α = arcsin(3/5) = arccos(4/5), то

x = π/4 - (1/2)arcsin(3/5) + πn, где n ∈ Z или x = π/4 - (1/2)arccos(4/5) + πn, где n ∈ Z

Ответ: x = π/4 - (1/2)arcsin(3/5) + πn, n ∈ Z; x = π/4 - (1/2)arccos(4/5) + πn, n ∈ Z