а) Стороны треугольника равны 4√2 см, 7 см и 5 см. Найдите наименьший угол треугольника.

Решение:

Наименьший угол треугольника лежит напротив наименьшей стороны. Наименьшая сторона равна 5 см. Пусть \( a = 5 \) см, \( b = 7 \) см, \( c = 4\sqrt{2} \) см. Найдем угол \( \alpha \) напротив стороны \( a \).

Воспользуемся теоремой косинусов:

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \)

Выразим \( \cos \alpha \):

\[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

Подставим значения сторон:

\[ \cos \alpha = \frac{7^2 + (4\sqrt{2})^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{2}} \]

\[ \cos \alpha = \frac{49 + 16 \cdot 2 - 25}{56\sqrt{2}} \]

\[ \cos \alpha = \frac{49 + 32 - 25}{56\sqrt{2}} \]

\[ \cos \alpha = \frac{81 - 25}{56\sqrt{2}} \]

\[ \cos \alpha = \frac{56}{56\sqrt{2}} \]

\[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Так как \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} \), то \( \alpha = 45^{\circ} \) или \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) радиан.

Ответ: Наименьший угол треугольника равен 45°.