а) Упростите выражение \(\frac\){\(\sqrt{54}\)}{\(\sqrt{15}\)+3 \(\cdot\) \(\sqrt{15}\)-3}

Решение:

Для упрощения выражения \(\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{15}+3 \cdot \sqrt{15}-3}\) сначала преобразуем знаменатель:

• \(\sqrt{15}+3\)
• \(\sqrt{15}-3\)

Перемножим эти выражения:

• \((\sqrt{15}+3)(\sqrt{15}-3)\)

Используем формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):

• \((\sqrt{15})^2 - 3^2 = 15 - 9 = 6\)

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

• \(\frac{\sqrt{54}}{6}\)

Упростим \(\sqrt{54}\):

• \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\)

Подставляем упрощенный корень:

• \(\frac{3\sqrt{6}}{6}\)

Сокращаем дробь:

• \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)

Таким образом, упрощенное выражение равно \(\frac{\sqrt{6}}{2}\).

Финальный ответ:

Ответ: $$\frac{\sqrt{6}}{2}$$