A2. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A=30°, AC = 10 см. CD - высота, проведенная к стороне AB, ДЕ - перпендикуляр, проведенный из точки D к стороне АС. Чему равна длина АЕ?

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с $$\angle C = 90^\circ$$ и $$\angle A = 30^\circ$$, следовательно $$\angle B = 60^\circ$$. $$CD$$ - высота, значит, $$\triangle ADC$$ - прямоугольный. $$\angle ACD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. $$\triangle CDE$$ - прямоугольный, и $$\angle DCE = 90^\circ - \angle CDE$$. $$\angle ADE = \angle ACD - 90^\circ$$. $$\angle DAE = 30^\circ$$. $$\triangle ADE$$ - прямоугольный с углом $$30^\circ$$. В прямоугольном треугольнике против угла в $$30^\circ$$ лежит катет, равный половине гипотенузы. $$AD = AC * cos(30^\circ)$$. $$AE = AD * cos(30^\circ)$$. $$AD = AC * \frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$AE = AD * \frac{\sqrt{3}}{2} = AC * (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = AC * \frac{3}{4} = 10 * \frac{3}{4} = 7.5$$ см. Ответ: 4) 7.5 см