А2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠A=30°, AC = 10 см, CD – высота, проведенная к стороне АВ, DE - перпендикуляр, проведенный из точки Д к стороне АС. Чему равна длина АЕ? 1) 8 см 2) 6 см 3) 5 см 4) 7,5 см

В прямоугольном треугольнике ABC с углом A = 30° катет BC равен половине гипотенузы AB. Поскольку угол A равен 30°, то угол B равен 60° (90°-30° = 60°). Рассмотрим треугольник ACD. Угол CAD равен 30°, угол ACD равен 90°-30°=60°. Треугольник CDE также является прямоугольным. В треугольнике CDE угол DCE равен 60°, следовательно, угол CDE равен 30°. Рассмотрим треугольник ADE. Угол ADE равен 90°-30°=60°, а угол DAE равен 30°. Значит, катет DE равен половине гипотенузы AD. В прямоугольном треугольнике ACD гипотенуза AC = 10 см, угол A = 30°, следовательно, CD = 1/2 * AC = 5 см. AD = \(\sqrt{AC^2 - CD^2}\) = \(\sqrt{10^2 - 5^2}\) = \(\sqrt{100 - 25}\) = \(\sqrt{75}\) = 5\(\sqrt{3}\) В прямоугольном треугольнике ADE угол A = 30°, катет DE = 1/2 * AD. AE = \(\sqrt{AD^2 - DE^2}\) = \(\sqrt{(5\sqrt{3})^2 - (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2}\) = \(\sqrt{75 - \frac{75}{4}}\) = \(\sqrt{\frac{225}{4}}\) = \(\frac{15}{2}\) = 7.5 см. Ответ: 4) 7,5 см