403. а) В треугольнике АВС AB = 13, BC = 14, AC = 15. Найдите его площадь. б) В треугольнике АВС АВ = 13, BC = 20, AC = 21. Найдите его площадь. в) В треугольнике АВС АВ = 17, BC = 25, AC = 28. Найдите его площадь. г) В треугольнике АВС АВ = 10, BC = 17, AC = 21. Найдите его площадь.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника, а $$p$$ - полупериметр, т.е. $$p = \frac{a+b+c}{2}$$.

а) $$AB = 13$$, $$BC = 14$$, $$AC = 15$$

$$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

б) $$AB = 13$$, $$BC = 20$$, $$AC = 21$$

$$p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$$

$$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3^3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$$

в) $$AB = 17$$, $$BC = 25$$, $$AC = 28$$

$$p = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35$$

$$S = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$$

г) $$AB = 10$$, $$BC = 17$$, $$AC = 21$$

$$p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24$$

$$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

Ответ:

• а) 84
• б) 126
• в) 210
• г) 84