404. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка Р. Площадь треугольника АВС равна. Найдите площадь треугольника ВСР, если: a) S=24, AP= 6, PC = 10 ; AP 6 в) S=51, = ; PC 11 б) S = 52, AP=11, PC = 2; г) S = 42, AP 8 PC 13

Пусть $$S_{ABC}$$ - площадь треугольника ABC, $$S_{BCP}$$ - площадь треугольника BCP. Треугольники ABC и BCP имеют общую высоту, опущенную из вершины B на сторону AC. Отношение площадей этих треугольников равно отношению длин оснований AC и PC.

а) $$S_{ABC} = 24$$, $$AP = 6$$, $$PC = 10$$. Следовательно, $$AC = AP + PC = 6 + 10 = 16$$.

$$\frac{S_{BCP}}{S_{ABC}} = \frac{PC}{AC} \Rightarrow S_{BCP} = S_{ABC} \cdot \frac{PC}{AC} = 24 \cdot \frac{10}{16} = 24 \cdot \frac{5}{8} = 3 \cdot 5 = 15$$

б) $$S_{ABC} = 52$$, $$AP = 11$$, $$PC = 2$$. Следовательно, $$AC = AP + PC = 11 + 2 = 13$$.

$$\frac{S_{BCP}}{S_{ABC}} = \frac{PC}{AC} \Rightarrow S_{BCP} = S_{ABC} \cdot \frac{PC}{AC} = 52 \cdot \frac{2}{13} = 4 \cdot 2 = 8$$

в) $$S_{ABC} = 51$$, $$\frac{AP}{PC} = \frac{6}{11}$$. Следовательно, $$AP = 6x$$, $$PC = 11x$$, $$AC = AP + PC = 6x + 11x = 17x$$.

$$\frac{S_{BCP}}{S_{ABC}} = \frac{PC}{AC} \Rightarrow S_{BCP} = S_{ABC} \cdot \frac{PC}{AC} = 51 \cdot \frac{11x}{17x} = 51 \cdot \frac{11}{17} = 3 \cdot 11 = 33$$

г) $$S_{ABC} = 42$$, $$\frac{AP}{PC} = \frac{8}{13}$$. Следовательно, $$AP = 8x$$, $$PC = 13x$$, $$AC = AP + PC = 8x + 13x = 21x$$.

$$\frac{S_{BCP}}{S_{ABC}} = \frac{PC}{AC} \Rightarrow S_{BCP} = S_{ABC} \cdot \frac{PC}{AC} = 42 \cdot \frac{13x}{21x} = 42 \cdot \frac{13}{21} = 2 \cdot 13 = 26$$

Ответ:

• а) 15
• б) 8
• в) 33
• г) 26