А12. (1 балл) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС боковая сторона АВ равна 8, a cos A = √7/4. Найдите высоту, проведенную к основанию.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) основание \( AC \), боковые стороны \( AB = BC = 8 \). Высота \( BD \) проведена к основанию \( AC \). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, \( D \) — середина \( AC \), и \( \angle ADB = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABD \):

Нам дан \( \cos A = \frac{\sqrt{7}}{4} \).

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AD}{AB} \)

\( \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{AD}{8} \)

Найдем длину \( AD \):

\( AD = 8 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7} \)

Теперь найдем высоту \( BD \) по теореме Пифагора в \( \triangle ABD \):

\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)

\( 8^2 = (2\sqrt{7})^2 + BD^2 \)

\( 64 = 4 \times 7 + BD^2 \)

\( 64 = 28 + BD^2 \)

\( BD^2 = 64 - 28 \)

\( BD^2 = 36 \)

\( BD = \sqrt{36} = 6 \)

Ответ: 6.