В 2. (2 балла) Решить уравнение sin²x - 2sinx - 3 = 0.

Решение:

Дано тригонометрическое уравнение: \( \sin^2 x - 2\sin x - 3 = 0 \)

Введем замену переменной. Пусть \( y = \sin x \). Учитывая, что \( -1 \le \sin x \le 1 \), то \( -1 \le y \le 1 \).

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно \( y \):

\( y^2 - 2y - 3 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2+4}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2-4}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \).

1. \( \sin x = 3 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.

2. \( \sin x = -1 \)

Это уравнение имеет решения. Общий вид решений:

\( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \) ( \( n \) — любое целое число).

Ответ: x = -\(\frac{\pi}{2}\) + 2\(\pi\)n, где n ∈ Z.