С 2. (3 балла) Найдите решение уравнения cos 2x+sinx=cos²x.

Решение:

Дано уравнение: \( \cos 2x + \sin x = \cos^2 x \)

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

Подставим ее в уравнение:

\( (1 - 2\sin^2 x) + \sin x = \cos^2 x \)

Теперь используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

\( 1 - 2\sin^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x \)

Перенесем все члены в левую часть:

\( 1 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 + \sin^2 x = 0 \)

\( -\sin^2 x + \sin x = 0 \)

Умножим на -1 для удобства:

\( \sin^2 x - \sin x = 0 \)

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (\sin x - 1) = 0 \)

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. \( \sin x = 0 \)

Решение: \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2. \( \sin x - 1 = 0 \) → \( \sin x = 1 \)

Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Объединим оба набора решений.

Ответ: x = \(\pi n\) и x = \(\frac{\pi}{2}\) + 2\(\pi\)k, где n, k ∈ Z.