А2. а) Плоскость пересекает цилиндр так, что в сечении получается квадрат. Найдите высоту цилиндра, если расстояние от этого сечения до оси цилиндра равно 12, а радиус основания равен 13. б) Плоскость пересекает цилиндр так, что в сечении получается квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра, если высота цилиндра равна 12, а радиус основания равен 10.

Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, — прямоугольник. Его ширина равна длине хорды основания, находящейся на расстоянии \(x\) от центра: \(2\sqrt{r^2-x^2}\). Если сечение — квадрат, эта ширина равна высоте цилиндра.

а) Длина хорды: \(2\sqrt{13^2-12^2}=2\sqrt{25}=10\). Значит, высота цилиндра равна 10.

б) Сторона квадратного сечения равна высоте, то есть 12. Поэтому \(2\sqrt{10^2-x^2}=12\). Тогда \(\sqrt{100-x^2}=6\), \(x^2=64\), и \(x=8\).

Ответ: а) 10; б) 8.