А2. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Пусть E, F, G и H — середины сторон прямоугольника ABCD, взятые последовательно.

1. В треугольнике ABC отрезок EF соединяет середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии треугольника \(EF=\frac{AC}{2}\).
2. Аналогично, в треугольнике BCD получаем \(FG=\frac{BD}{2}\); в треугольниках CDA и DAB — \(GH=\frac{AC}{2}\) и \(HE=\frac{BD}{2}\).
3. Диагонали прямоугольника равны, поэтому \(AC=BD\). Следовательно, \(EF=FG=GH=HE\).

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, — ромб. Значит, середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.