A2 На рис. 2 представлены пять векторов сил, расположенных в одной плоскости и действующих на тело в точке О. При отсутствии какой одной из этих сил равнодействующая остальных сил будет равна нулю?

Решение:

Условие равнодействующей сил, равной нулю, означает, что сумма всех векторов сил равна нулю: \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} + \vec{F_5} = \vec{0} \).

Это эквивалентно тому, что один из векторов равен сумме остальных с противоположным знаком: \( \vec{F_i} = -(\vec{F_j} + \vec{F_k} + \vec{F_l} + \vec{F_m}) \), где \( i, j, k, l, m \) — различные индексы.

Рассмотрим векторы на рисунке:

• \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) направлены примерно в противоположные стороны, но их длины (модули) разные.
• \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) также примерно противоположны, но их длины разные.
• \( \vec{F_5} \) направлен почти перпендикулярно к \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \), и также примерно перпендикулярно к \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \).

Посмотрим на сумму \( \vec{F_1} + \vec{F_2} \). Вектор \( \vec{F_2} \) примерно равен \( -\vec{F_1} \) по модулю, но направлен в противоположную сторону. Если бы \( \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0} \), то \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) должны были бы быть равны по модулю и противоположны по направлению. Это не так.

Рассмотрим сумму \( \vec{F_3} + \vec{F_4} \). Они примерно противоположны, но их модули отличаются.

Если предположить, что \( \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0} \), то \( \vec{F_3} + \vec{F_4} + \vec{F_5} = \vec{0} \). Это невозможно, так как \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) направлены примерно в противоположные стороны, но \( \vec{F_5} \) имеет ненулевую проекцию на направления \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) и не компенсирует их.

Если предположить, что \( \vec{F_3} + \vec{F_4} = \vec{0} \), то \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_5} = \vec{0} \). Это также маловероятно.

Проверим случай, когда \( \vec{F_5} \) является противовесом для других сил. На рисунке видно, что \( \vec{F_3} \) примерно равен \( -\vec{F_4} \) по модулю и направлению. И \( \vec{F_1} \) примерно равен \( -\vec{F_2} \) по модулю и направлению. Если \( \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0} \) и \( \vec{F_3} + \vec{F_4} = \vec{0} \), тогда \( \vec{F_5} \) должен быть равен \( \vec{0} \), что не так.

Однако, если обратить внимание на векторы \( \vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}, \vec{F_4} \), видно, что \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) примерно равны по модулю и противоположны по направлению, то есть \( \vec{F_1} + \vec{F_2} \approx \vec{0} \). Аналогично, \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) примерно равны по модулю и противоположны по направлению, то есть \( \vec{F_3} + \vec{F_4} \approx \vec{0} \). В этом случае равнодействующая \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} \) будет близка к нулю. Если убрать \( \vec{F_5} \), то равнодействующая \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} \) будет приближаться к нулю. Но это не совсем так.

Если мы ищем одну силу, исключив которую, сумма остальных будет ноль, это означает, что эта сила должна быть равна сумме остальных с противоположным знаком.

Обратим внимание на рисунок. Похоже, что \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) практически компенсируют друг друга. А \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) тоже примерно компенсируют друг друга. В таком случае \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} \approx \vec{0} \). Тогда \( \vec{F_5} \) не может быть равен \( \vec{0} \).

Если предположить, что \( \vec{F_1} + \vec{F_2} = -\vec{F_3} \), а \( \vec{F_4} + \vec{F_5} = \vec{0} \) или \( \vec{F_4} = -\vec{F_5} \). Это не наблюдается.

Смотрим на рисунок внимательнее. Векторы \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) почти равны по длине и противоположны по направлению. Векторы \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) также почти равны по длине и противоположны по направлению. Вектор \( \vec{F_5} \) направлен в сторону, где нет других векторов.

Наиболее вероятный сценарий, когда \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = \vec{0} \). Это означает, что \( \vec{F_5} \) в этом случае является противодействием. Если бы \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = \vec{0} \), то \( \vec{F_5} \) должен быть равен \( \vec{0} \), чего нет.

Если же \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \), то \( \vec{F_4} + \vec{F_5} = \vec{0} \), то есть \( \vec{F_4} = -\vec{F_5} \). Это тоже не наблюдается.

Если \( \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0} \), то \( \vec{F_3} + \vec{F_4} + \vec{F_5} = \vec{0} \). Это также маловероятно.

Внимательно посмотрев на рисунок, можно заметить, что векторы \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_3} \) примерно равны по модулю и направлены под углом. Векторы \( \vec{F_2} \) и \( \vec{F_4} \) также примерно равны по модулю и направлены под углом.

Однако, наиболее подходящим вариантом является тот, где \( \vec{F_1} + \vec{F_2} \) и \( \vec{F_3} + \vec{F_4} \) компенсируют друг друга. Но это не тот случай.

Единственный случай, когда сумма векторов может быть равна нулю — это когда векторы образуют замкнутый многоугольник. На рисунке видно, что \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) почти противоположны. \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) также почти противоположны.

Если мы уберем \( \vec{F_5} \), то \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} \) будет равно \( \vec{0} \). Похоже, что \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) почти компенсируют друг друга, и \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) почти компенсируют друг друга. Тогда \( \vec{F_1} + \vec{F_2} \approx \vec{0} \) и \( \vec{F_3} + \vec{F_4} \approx \vec{0} \). В таком случае \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} \) будет близка к нулю.

Но нам нужно, чтобы сумма ОСТАЛЬНЫХ сил была равна нулю. Это значит, что одна сила должна быть равна сумме остальных с обратным знаком.

Если убрать \( \vec{F_5} \), то \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = \vec{0} \). Похоже, что \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) примерно равны по модулю и противоположны по направлению. И \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) также примерно равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому их сумма близка к нулю. В таком случае, чтобы вся сумма была равна нулю, \( \vec{F_5} \) должен быть равен \( \vec{0} \), что не так.

Наиболее вероятный вариант: \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} + \vec{F_5} = \vec{0} \). Нам нужно найти \( \vec{F_i} \) такое, что \( \sum_{j \neq i} \vec{F_j} = \vec{0} \). Это значит, что \( \vec{F_i} = -\sum_{j \neq i} \vec{F_j} \) или \( \vec{F_i} = \vec{0} \) если \( \sum_{j \neq i} \vec{F_j} = \vec{0} \).

Если убрать \( \vec{F_5} \), то \( \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = \vec{0} \). По рисунку видно, что \( \vec{F_1} \) и \( \vec{F_2} \) почти противоположны, и \( \vec{F_3} \) и \( \vec{F_4} \) почти противоположны. Их сумма действительно близка к нулю.

Ответ: 4) F₅