Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: А2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C= 90°. ∠B=30°, BC = 18 см, СК — высота, проведенная к стороне АВ, КМ —…Фото задания

Ответ:

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

  1. Найдем угол A: \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
  2. Найдем длину гипотенузы AB: \( \cos B = \frac{BC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{BC}{\cos B} = \frac{18}{\cos 30^{\circ}} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \) см.
  3. Найдем длину высоты СК: \( \sin B = \frac{CK}{BC} \Rightarrow CK = BC \cdot \sin B = 18 \cdot \sin 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.
  4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC. \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \). \( CK \) — высота, \( KM \) — перпендикуляр к \( BC \).
  5. В прямоугольном треугольнике CKB: \( \cos C = \frac{CK}{BC} \) - это неверно.
  6. В прямоугольном треугольнике CKB: \( \angle KCB = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
  7. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKM. \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle KCM = 60^{\circ} \). \( KM \) — высота, проведенная из \( K \) на \( BC \).
  8. В прямоугольном треугольнике BKM: \( \angle B = 30^{\circ} \), \( \angle BKM = 90^{\circ} \).
  9. Найдем длину BK: \( \cos B = \frac{BK}{BC} \) - это неверно.
  10. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \), \( BC = 18 \) см.
  11. Найдем AC: \( \tan B = \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC \cdot \tan B = 18 \cdot \tan 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.
  12. Найдем AB: \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 18^2} = \sqrt{36 \cdot 3 + 324} = \sqrt{108 + 324} = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \) см.
  13. Высота СК: \( CK = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6\sqrt{3} \cdot 18}{12\sqrt{3}} = \frac{108}{12} = 9 \) см.
  14. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCM. \( \angle B = 30^{\circ} \). \( KM \) — перпендикуляр, значит \( \triangle KBM \) — прямоугольный.
  15. В прямоугольном треугольнике CKB, \( \angle B = 30^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \). \( CK = 9 \) см.
  16. Найдем BK: \( BK = \sqrt{BC^2 - CK^2} = \sqrt{18^2 - 9^2} = \sqrt{324 - 81} = \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3} \) см.
  17. В прямоугольном треугольнике CKB, \( \cos B = \frac{BK}{BC} \Rightarrow BK = BC \cdot \cos B = 18 \cdot \cos 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см.
  18. В прямоугольном треугольнике CKB, \( CK = BC \cdot \sin B = 18 \cdot \sin 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.
  19. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKM. \( \angle KCM = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \) - это неверно.
  20. В прямоугольном треугольнике CKB, \( \angle KBC = 30^{\circ} \). \( KM \) — перпендикуляр к \( BC \). \( \triangle KBM \) — прямоугольный.
  21. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKM. \( \angle KCM = 90^{\circ} \) - это неверно.
  22. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \). \( CK \) — высота. \( \triangle BKC \) — прямоугольный.
  23. В \( \triangle BKC \), \( \angle KBC = 30^{\circ} \), \( \angle BKC = 90^{\circ} \). \( KM \) — перпендикуляр к \( BC \). \( \triangle KBM \) — прямоугольный.
  24. В \( \triangle CKB \), \( \angle B = 30^{\circ} \). \( CM \) — проекция \( CK \) на \( BC \).
  25. В прямоугольном треугольнике CKB: \( \cos 30^{\circ} = \frac{BK}{BC} \Rightarrow BK = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) см. \( CK = 18 \cdot \sin 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \) см.
  26. В прямоугольном треугольнике ABC: \( AC = BC \tan 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \) см.
  27. \( AB = \frac{BC}{\cos 30^{\circ}} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \) см.
  28. Найдем \( AK \): \( AK = \sqrt{AC^2 + CK^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 9^2} = \sqrt{108 + 81} = \sqrt{189} = \sqrt{9 \cdot 21} = 3\sqrt{21} \) см.
  29. В прямоугольном треугольнике CKB: \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \). \( KM \) — перпендикуляр к \( BC \).
  30. Рассмотрим \( \triangle CKB \). \( CK = 9 \) см, \( BK = 9\sqrt{3} \) см, \( BC = 18 \) см.
  31. В \( \triangle CKM \), \( \angle CKM = 90^{\circ} \). \( \angle KCM = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \) - это неверно.
  32. В \( \triangle CKB \), \( \angle C=90^{\circ} \), \( \angle B=30^{\circ} \). \( CK=9 \), \( BC=18 \).
  33. \( CM = CK \cos 60^{\circ} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \) см.
  34. \( KM = CK \sin 60^{\circ} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) см.
  35. \( MB = BC - CM = 18 - 4.5 = 13.5 \) см.

Ответ: 2) 13,5 см