A3 Найдите второй двучлен в разложении на множители квадратного трехчлена: 8x² + 16x - 64 = 8(x + 4)(...)

Решение:

Чтобы найти второй двучлен, вынесем общий множитель 8 из первого выражения:

\( 8x^2 + 16x - 64 = 8(x^2 + 2x - 8) \)

Теперь разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 2x - 8 \) на множители. Для этого найдём корни уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \).

Используем теорему Виета:

\( x_1 + x_2 = -2 \)

\( x_1 · x_2 = -8 \)

Подбираем числа: \( 4 \) и \( -2 \).

\( 4 + (-2) = 2 \) — неверно.

Подбираем числа: \( -4 \) и \( 2 \).

\( -4 + 2 = -2 \) — верно.

\( -4 · 2 = -8 \) — верно.

Значит, \( x^2 + 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \).

Тогда исходное выражение:

\( 8x^2 + 16x - 64 = 8(x - 4)(x + 2) \)

В задании дано \( 8(x + 4)(...) \). Видимо, ошибка в условии. Будем исходить из того, что разложение должно быть верным. Если \( 8(x+4) \) — один из множителей, то подставим \( x = -4 \) в исходное выражение:

\( 8(-4)^2 + 16(-4) - 64 = 8(16) - 64 - 64 = 128 - 128 = 0 \)

Значит, \( (x+4) \) является множителем. Разделим \( x^2 + 2x - 8 \) на \( (x+4) \).

\( (x^2 + 2x - 8) : (x+4) \)

Используем деление столбиком или подбор:

\( (x^2 + 4x - 2x - 8) : (x+4) = (x(x+4) - 2(x+4)) : (x+4) = (x-2)(x+4) \)

Тогда \( 8x^2 + 16x - 64 = 8(x+4)(x-2) \).

Ответ: (x - 2).