А6 Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

Решение:

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое число (знаменатель прогрессии). Проверим каждую последовательность:

1. \(10; 6; 2; -2; ...\)
   \(6 \div 10 = 0.6\)
   \(2 \div 6 = \frac{1}{3}\)
   Знаменатель не постоянен.
2. \( \frac{5}{5}; \frac{5}{2}; \frac{5}{4}; \frac{5}{8}; ... \)
   \(\frac{5}{2} \div \frac{5}{5} = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{5} = \frac{5}{2}\)
   \(\frac{5}{4} \div \frac{5}{2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{2}\)
   Знаменатель не постоянен.
3. \(1; 2; 3; 5; ...\)
   \(2 \div 1 = 2\)
   \(3 \div 2 = 1.5\)
   Знаменатель не постоянен.
4. \(\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}; ...\)
   \(\frac{1}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}\)
   \(\frac{1}{4} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}\)
   Знаменатель не постоянен.

Пересмотрим вторую последовательность, предполагая, что она записана как: \(\frac{5}{5}; \frac{5}{2}; \frac{5}{4}; \frac{5}{8}; ...\)

\(\frac{5}{2} \div \frac{5}{5} = \frac{5}{2}\)
\(\frac{5}{4} \div \frac{5}{2} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{5}{8} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{2}\)

Примечание: В оригинале второй последовательности \(\frac{5}{5}; \frac{5}{2}; \frac{5}{4}; \frac{5}{8}; ...\) знаменатель не постоянен. Если предположить, что запись \(\frac{5}{2}; \frac{5}{4}; \frac{5}{8}; ...\) подразумевает, что \(\frac{5}{5}\) это \(1\), а \(\frac{5}{2}\) это \(2.5\) то есть \(5/2\), а \(\frac{5}{4}\) это \(1.25\) или \(5/4\), а \(\frac{5}{8}\) это \(0.625\) или \(5/8\), то отношение \(q = \frac{5/2}{5/5} = 5/2\), \(q = \frac{5/4}{5/2} = 1/2\), \(q = \frac{5/8}{5/4} = 1/2\). Таким образом, если первая дробь \(\frac{5}{5}\) считается равной \(1\) то это арифметическая прогрессия. Если же \(\frac{5}{5}\) принять как \(5/5\) и \(\frac{5}{2}\) как \(5/2\), то это не геометрическая прогрессия. Предположим, что в условии была допущена опечатка, и вторая последовательность начинается с \(5\) затем \(5/2\) затем \(5/4\) затем \(5/8\). Тогда отношение \(q = \frac{5/2}{5} = \frac{1}{2}\), \(q = \frac{5/4}{5/2} = \frac{1}{2}\), \(q = \frac{5/8}{5/4} = \frac{1}{2}\). Это геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = 1/2\).

Ответ: 5; 5/2; 5/4; 5/8; ...