А3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами, равными 4 см и 5 см. Диагональ большей боковой грани равна 5√2 см. Найдите объём призмы. 1) 60 см³; 2) 20 см³; 3) 30 см³; 4) 34 см³.

Большая боковая грань имеет сторонами высоту призмы \(h\) и гипотенузу основания.

Гипотенуза основания: \(c=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}\) см.

По теореме Пифагора для диагонали боковой грани:

\(h^2+(\sqrt{41})^2=(5\sqrt{2})^2\).

\(h^2+41=50\), поэтому \(h^2=9\), \(h=3\) см.

Площадь основания: \(S_{\text{осн}}=\frac12\cdot4\cdot5=10\) см².

Объём призмы: \(V=S_{\text{осн}}h=10\cdot3=30\) см³.

Ответ: 3) 30 см³.