В1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если периметр его основания равен 16 см, площадь полной поверхности — 142 см² и объём — 105 см³.

Пусть стороны основания равны \(a\) и \(b\), а высота — \(h\).

Из условия о периметре основания: \(2(a+b)=16\), значит \(a+b=8\).

Формула полной поверхности:

\(2(ab+ah+bh)=142\), поэтому \(ab+h(a+b)=71\).

С учётом \(a+b=8\): \(ab+8h=71\).

Из условия объёма \(abh=105\), то есть \(ab\cdot h=105\).

Обозначим \(p=ab\). Тогда \(h=\frac{105}{p}\), и получаем:

\(p+\frac{840}{p}=71\), или \(p^2-71p+840=0\).

Корни уравнения: \(p=15\) и \(p=56\). Значение \(p=56\) невозможно, так как при \(a+b=8\) произведение двух положительных чисел не может быть больше 16. Поэтому \(ab=15\).

Тогда \(h=\frac{105}{15}=7\) см. Стороны основания — 3 см и 5 см, поскольку \(a+b=8\) и \(ab=15\).

Диагональ:

\(d=\sqrt{a^2+b^2+h^2}=\sqrt{3^2+5^2+7^2}=\sqrt{83}\) см.

Ответ: \(\sqrt{83}\) см.