А4. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 4 см, ∠BMP = 60°. Чему равен периметр четырёхугольника PMEK?

Поскольку M лежит на BC, длина \(BM = 4\) см. В прямоугольном треугольнике, образованном горизонтальным и вертикальным отрезками от P до M, проекция PM на направление MB равна BM. Поэтому \(\cos 60° = \frac{BM}{PM}\).

Тогда \(PM = \frac{4}{\cos 60°} = 8\) см.

Чтобы сравнить остальные стороны, обозначим сторону квадрата через \(a\) и зададим координаты: \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C(a,a)\), \(D(0,a)\). Тогда \(P(4,0)\), \(M(a,4)\), \(E(a-4,a)\), \(K(0,a-4)\). Получаем \(PM^2 = (a-4)^2 + 16\), и такие же выражения для \(ME^2\), \(EK^2\) и \(KP^2\). Следовательно, все четыре стороны PMEK равны 8 см.

Периметр: \(4 \cdot 8 = 32\) см.

Ответ: 32 см.