A4. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 18 см, AC = 9 см. Чему равен ∠A?

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ AB = 18 \text{ см} \]
• \[ AC = 9 \text{ см} \]

Найти:

• \[ \angle A \]

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
2. \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]
3. Для нахождения BC используем теорему Пифагора:
4. \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
5. \[ 18^2 = 9^2 + BC^2 \]
6. \[ 324 = 81 + BC^2 \]
7. \[ BC^2 = 324 - 81 = 243 \]
8. \[ BC = \sqrt{243} = \sqrt{81 \times 3} = 9\sqrt{3} \text{ см} \]
9. Теперь найдем синус угла A:
10. \[ \sin A = \frac{9\sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
11. Угол, синус которого равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), равен 60°.
12. \[ \angle A = 60^{\circ} \]
13. Альтернативное решение:
14. В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
15. \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]
16. \[ \cos A = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \]
17. Угол, косинус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен 60°.
18. \[ \angle A = 60^{\circ} \]

Ответ: 1) 60°