B1. В прямоугольном треугольнике ABC угол между биссектрисой CK и высотой CH, проведенными из вершины прямого угла C, равен 15°. AB = 12 см. Найдите сторону BC, если известно, что точка K лежит между A и H.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• CK - биссектриса
• CH - высота
• \[ \angle KCH = 15^{\circ} \]
• \[ AB = 12 \text{ см} \]
• K лежит между A и H.

Найти:

• \[ BC \]

Решение:

1. \[ \angle C = 90^{\circ} \]. CK - биссектриса, значит, \[ \angle ACK = \angle BCK = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \].
2. CH - высота, значит, \[ \angle CHA = 90^{\circ} \].
3. В прямоугольном \[ \triangle ACH \] имеем \[ \angle ACH = \angle C - \angle KCH - \angle ACK = 90^{\circ} - 15^{\circ} - 45^{\circ} = 30^{\circ} \]
4. Теперь рассмотрим \[ \triangle ACH \]: \[ \angle A + \angle ACH + \angle CHA = 180^{\circ} \]
5. \[ \angle A + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]
6. \[ \angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \]
7. В прямоугольном \[ \triangle ABC \]:
8. \[ \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \]
9. \[ \angle B = 30^{\circ} \].
10. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
11. \[ AC = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \]
12. Теперь найдем BC, используя теорему Пифагора:
13. \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
14. \[ 12^2 = 6^2 + BC^2 \]
15. \[ 144 = 36 + BC^2 \]
16. \[ BC^2 = 144 - 36 = 108 \]
17. \[ BC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]
18. Проверка условия: K лежит между A и H.
19. \[ \angle A = 60^{\circ} \].
20. В \[ \triangle ACK \]: \(\nolimits\) как кет \]
21. \[ CH = AC \sin A = 6 \sin 60^{\circ} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} \]
22. \[ AH = AC \cos A = 6 \cos 60^{\circ} = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \text{ см} \]
23. \[ CK = BC \sin B = 6\sqrt{3} \sin 30^{\circ} = 6\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} \]
24. \[ AK = AB \cos A = 12 \cos 60^{\circ} = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]
25. Так как \( AK = 6 \text{ см} \) и \( AH = 3 \text{ см} \), то K лежит между A и H.

Ответ: BC = 6√3 см