А5. Плотность золота р = 19,3·10³ кг/м³, молярная масса М = 197·10⁻³ кг/моль. Среднее значение объема, занима- емого одним атомом золота, равно:

Решение:

Сначала найдем число Авогадро \( N_A \), используя молярную массу и плотность:

\( N_A = \frac{M}{\rho_{молекулы}} \), где \( \rho_{молекулы} \) — плотность вещества, рассчитанная на моль.

Мы знаем, что \( M = 197 × 10^{-3} \text{ кг/моль} \) и \( \rho = 19.3 × 10^3 \text{ кг/м}^3 \). Однако, нам нужно найти объем одного атома, а не плотность молярной массы.

Объем одного атома \( V_{атома} \) можно найти, разделив молярный объем \( V_m \) на число Авогадро \( N_A \). Молярный объем не дан напрямую, но мы можем найти его через плотность и молярную массу. Но сначала найдем число Авогадро.

\( N_A × m_{атома} = M \) и \( N_A × V_{атома} = V_{молекулы} \).

Молярный объем \( V_m = \frac{M}{\rho} \) — это объем одного моля вещества. Но нам дана плотность, а не молярный объем. Давайте попробуем иначе.

Мы знаем, что \( \rho = N × m \), где \( N \) — концентрация частиц, \( m \) — масса одной частицы.

Нам нужна концентрация атомов \( n \) и масса одного атома \( m_{атома} \).

Масса одного атома золота \( m_{атома} = \frac{M}{N_A} \).

Концентрация атомов \( n \) — это число атомов в единице объема. \( n = \frac{\rho}{m_{атома}} \).

Объем одного атома \( V_{атома} = \frac{1}{n} = \frac{m_{атома}}{\rho} = \frac{M/N_A}{\rho} = \frac{M}{N_A \rho} \).

Для расчета нам нужно число Авогадро. Примем стандартное значение \( N_A ≈ 6.022 × 10^{23} \text{ моль}^{-1} \).

\( V_{атома} = \frac{197 × 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 × 10^{23} \text{ моль}^{-1} × 19.3 × 10^3 \text{ кг/м}^3} \).

\( V_{атома} ≈ \frac{197 × 10^{-3}}{116.22 × 10^{26}} ≈ 1.7 × 10^{-30} \text{ м}^3 \).

Теперь преобразуем в \( 10^{-29} \text{ м}^3 \).

\( 1.7 × 10^{-30} \text{ м}^3 = 0.17 × 10^{-29} \text{ м}^3 \). Это не совпадает ни с одним вариантом.

Давайте перепроверим расчеты.

\( V_{атома} = \frac{M}{\rho N_A} \).

\( M = 197 × 10^{-3} \text{ кг/моль} \).

\( \rho = 19.3 × 10^3 \text{ кг/м}^3 \).

\( N_A ≈ 6 × 10^{23} \text{ моль}^{-1} \) (для простоты, чтобы попасть в варианты).

\( V_{атома} ≈ \frac{197 × 10^{-3}}{(19.3 × 10^3) × (6 × 10^{23})} ≈ \frac{197 × 10^{-3}}{115.8 × 10^{26}} ≈ 1.7 × 10^{-30} \text{ м}^3 \).

Если использовать \( N_A = 6.022 × 10^{23} \):

\( V_{атома} ≈ \frac{197 × 10^{-3}}{(19.3 × 10^3) × (6.022 × 10^{23})} ≈ \frac{197 × 10^{-3}}{116.22 × 10^{26}} ≈ 1.695 × 10^{-30} \text{ м}^3 \).

\( 1.695 × 10^{-30} \text{ м}^3 = 0.1695 × 10^{-29} \text{ м}^3 \).

Возможно, в условии задачи или вариантах ответа есть ошибка, или используются иные значения констант.

Давайте проверим вариант 2: \( 1.7 × 10^{-29} \text{ м}^3 \).

Если \( V_{атома} = 1.7 × 10^{-29} \text{ м}^3 \), то \( n = \frac{1}{V_{атома}} = \frac{1}{1.7 × 10^{-29}} ≈ 5.88 × 10^{28} \text{ м}^{-3} \).

\( \rho = n × m_{атома} \).

\( m_{атома} = \frac{M}{N_A} = \frac{197 × 10^{-3}}{6.022 × 10^{23}} ≈ 32.7 × 10^{-27} \text{ кг} \).

\( \rho ≈ (5.88 × 10^{28}) × (32.7 × 10^{-27}) ≈ 1922.76 × 10^1 ≈ 19227.6 \text{ кг/м}^3 \).

Это отличается от \( 19.3 × 10^3 \text{ кг/м}^3 \).

Пересчитаем \( V_{атома} = \frac{M}{\rho N_A} \) еще раз, используя \( N_A = 6.022 \times 10^{23} \).

\( V_{атома} = \frac{197 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{(19.3 \times 10^3 \text{ кг/м}^3) \times (6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1})} = \frac{197 \times 10^{-3}}{116.2246 \times 10^{26}} ≈ 1.695 \times 10^{-30} \text{ м}^3 \).

\( 1.695 \times 10^{-30} \text{ м}^3 = 0.1695 \times 10^{-29} \text{ м}^3 \).

Если предположить, что \( M=197 \text{ г/моль} \) и \( \rho = 19.3 \text{ г/см}^3 = 19.3 \times 10^6 \text{ г/м}^3 \).

\( M = 197 \times 10^{-3} \text{ кг/моль} \).

\( \rho = 19.3 \times 10^3 \text{ кг/м}^3 \).

\( N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \).

\( V_{атома} = \frac{M}{\rho N_A} = \frac{197 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{19.3 \times 10^3 \text{ кг/м}^3 \times 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} ≈ \frac{197 \times 10^{-3}}{116.22 \times 10^{26}} ≈ 1.695 \times 10^{-30} \text{ м}^3 \).

\( 1.695 \times 10^{-30} \text{ м}^3 = 0.1695 \times 10^{-29} \text{ м}^3 \).

Возможно, в задаче используется упрощенное значение \( N_A \) или \( M \).

Давайте попробуем использовать вариант ответа 2) \( 1.7 \times 10^{-29} \text{ м}^3 \) и посмотреть, какие значения \( M \) или \( N_A \) получатся.

Если \( V_{атома} = 1.7 \times 10^{-29} \text{ м}^3 \), то \( n = \frac{1}{1.7 \times 10^{-29}} ≈ 5.88 \times 10^{28} \text{ м}^{-3} \).

\( \rho = n × m_{атома} \).

\( m_{атома} = 3 \times 10^{-25} \text{ кг} \) (приблизительно).

\( M = N_A × m_{атома} = 6.022 \times 10^{23} \times 3 \times 10^{-25} ≈ 1.8 \text{ кг} \). Это не совпадает.

Пересчитаем \( V_{атома} = \frac{M}{\rho N_A} \) еще раз, но преобразуем \( M \) в граммы и \( \rho \) в г/см³.

\( M = 197 \text{ г/моль} \).

\( \rho = 19.3 \text{ г/см}^3 = 19.3 \times 10^6 \text{ г/м}^3 \).

\( N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \).

\( V_{атома} = \frac{197 \text{ г/моль}}{19.3 \times 10^6 \text{ г/м}^3 \times 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}} ≈ \frac{197}{116.22 \times 10^{29}} ≈ 1.695 \times 10^{-29} \text{ м}^3 \).

\( 1.695 \times 10^{-29} \text{ м}^3 ≈ 1.7 \times 10^{-29} \text{ м}^3 \).

Ответ: 2) 1,7·10⁻²⁹ м³