В1 Решите систему уравнений:

Решение:

Система уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x^2 - 2x + 4y^2 = 21 \end{cases} $$

Выразим \( x \) из первого уравнения: \( x = 3 - 2y \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$ (3 - 2y)^2 - 2(3 - 2y) + 4y^2 = 21 $$

Раскроем скобки:

$$ (9 - 12y + 4y^2) - (6 - 4y) + 4y^2 = 21 $$

$$ 9 - 12y + 4y^2 - 6 + 4y + 4y^2 = 21 $$

Приведем подобные члены:

$$ 8y^2 - 8y + 3 = 21 $$

$$ 8y^2 - 8y + 3 - 21 = 0 $$

$$ 8y^2 - 8y - 18 = 0 $$

Разделим всё на 2:

$$ 4y^2 - 4y - 9 = 0 $$

Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 16 + 144 = 160 $$

\( \sqrt{D} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \).

Найдем значения \( y \):

$$ y_1 = \frac{-(-4) + 4\sqrt{10}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 4\sqrt{10}}{8} = \frac{1 + \sqrt{10}}{2} $$

$$ y_2 = \frac{-(-4) - 4\sqrt{10}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 4\sqrt{10}}{8} = \frac{1 - \sqrt{10}}{2} $$

Теперь найдем соответствующие значения \( x \), используя \( x = 3 - 2y \).

Для \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{2} \):

$$ x_1 = 3 - 2 \left( \frac{1 + \sqrt{10}}{2} \right) = 3 - (1 + \sqrt{10}) = 3 - 1 - \sqrt{10} = 2 - \sqrt{10} $$

Для \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{2} \):

$$ x_2 = 3 - 2 \left( \frac{1 - \sqrt{10}}{2} \right) = 3 - (1 - \sqrt{10}) = 3 - 1 + \sqrt{10} = 2 + \sqrt{10} $$

Ответ: \( (2 - \sqrt{10}; \frac{1 + \sqrt{10}}{2}), (2 + \sqrt{10}; \frac{1 - \sqrt{10}}{2}) \).