A6. Решите неравенство 4x² - 3x - 1 < 0

Задание A6. Решение неравенства

Для решения квадратного неравенства найдём корни соответствующего квадратного уравнения и определим промежутки, на которых неравенство выполняется.

Дано: неравенство \( 4x^2 - 3x - 1 < 0 \)

Найти: значения \( x \), удовлетворяющие неравенству.

Решение:

1. Решим уравнение \( 4x^2 - 3x - 1 = 0 \).
2. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 \).
3. Корни уравнения:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -0.25 \)
4. Теперь построим параболу \( y = 4x^2 - 3x - 1 \). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) (a = 4) положительный.
5. Нас интересуют значения, где \( y < 0 \), то есть промежуток между корнями.

Ответ: \( -0.25 < x < 1 \).