А8. Для числовых множеств приняты специальные обозначения: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, R — множество действительных чисел. Какие из следующих включений верны: a) ZCR, ZCN, ZCQ; б) RCQ, NCQ, QCR?

Решение:

Рассмотрим отношения между числовыми множествами:

• N (натуральные числа: 1, 2, 3...)
• Z (целые числа: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
• Q (рациональные числа: дроби вида p/q)
• R (действительные числа: все числа на числовой прямой)

Следует, что N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

а)

• Z ⊂ R: Верно. Все целые числа являются действительными.
• Z ⊂ N: Неверно. Целые числа включают отрицательные числа и ноль, которые не являются натуральными.
• Z ⊂ Q: Верно. Все целые числа являются рациональными (например, \( z = \frac{z}{1} \)).

б)

• R ⊂ Q: Неверно. Действительные числа включают иррациональные числа (например, \( \pi \)), которые не являются рациональными.
• N ⊂ Q: Верно. Все натуральные числа являются рациональными.
• Q ⊂ R: Верно. Все рациональные числа являются действительными.

Ответ: а) ZCR, ZCQ; б) NCQ, QCR.